Um é pouco, dois é bom, de três pra cima é demais (Ou, o Teorema do Limite Central e sua influência no rolamento de dados)

Quem já é um pouco “veterano” no RPG com certeza já ouviu falar da comparação entre lançar 1d20 (o dado clássico de Dungeons&Dragons) e lançar 3d6 (a parada de dados clássica de GURPS). Do ponto de vista do intervalo considerado, talvez fosse mais vantajoso rolar 4d6-3 ou 4d6-4, ignorando um único resultado para que possamos reproduzir a possibilidade de rolar de 1 até 20 com dados de seis lados. Entretanto, esta não é a questão.

Qual é a diferença entre as duas opções? As probabilidades.

Em um dado de vinte lados, a chance de se obter qualquer um dos valores disponíveis em cada uma das faces é a mesma, 5%. Tanto para o temido 1, quanto para o desejado 20, e até mesmo para o razoável 10 – e quaisquer outros. Logo, sucesso e fracasso podem surgir com as mesmas chances, a depender do relacionamento entre dificuldades e modificadores.

Já o lançamento de três dados de seis lados possui uma distribuição de probabilidades mais interessante. Enquanto valores extremos como 3 e 18 possuem apenas uma combinação possível de resultados cada (três 1s e três 6, respectivamente), valores mais medianos como 10 e 11 possuem mais combinações disponíveis (pode contar, se quiser), o que resulta em maior chance de que uma dessas combinações seja sorteada, o que implica em maior probabilidade de se tirar um desses valores.

Curvas de probabilidade de 1d20 e 3d6, cortesia de anydice.com

texto fantasma 1

“E se eu rolasse mais dados?”, você se pergunta. Fique à vontade para contar, calcular e fazer gráficos, com quatro, cinco dados, ou mais até, de quantas faces quiser, e até misturar dados diferentes no balaio, desde que de três pra cima no total (veremos o caso de dois dados mais adiante). O aspecto geral da curva de probabilidade que vimos para 3d6 vai se repetir, talvez até apareça de forma mais nítida, especialmente se você normalizar os resultados, isto é, reduzir o intervalo dos balaios de dados a ficar entre 0 e 1, via transformações lineares – um procedimento padrão em análise gráfica, eu lhe asseguro.

E porque isso acontece? Porque todas as curvas de probabilidade, de três dados para cima, são tão parecidas? Aliás, elas lembram vagamente o formato de um sino, não é verdade? Pois é, apresento-lhe a curva de sino – não, ela não recebe esse nome por acaso -, ou como é mais conhecida na matemática: a curva gaussiana. (Curiosidade: eu, que sou físico e fiz muita conta com a gaussiana, só fui conhecer este outro nome dela, através de jogadores de RPG! =D)

Fórmula para a distribuição normal, ou gaussiana.

texto fantasma 2

Enfim, o porquê de a curva de probabilidade de um conjunto de três ou mais dados assemelhar-se à curva gaussiana – e, quanto mais dados, mais parecido fica – deve-se a um resultado de importância fundamental no estudo da matemática probabilística e áreas correlatas, como a física estatística: é o Teorema do Limite Central (ou CLT, de Central Limit Theorem). O CLT afirma justamente que, para um conjunto de variáveis aleatórias independentes (como dados poliédricos – o resultado que se obtém na rolagem de um deles em nada afeta fisicamente o resultado dos outros), à medida em que aumentamos a quantidade destas variáveis, a distribuição de probabilidade de sua média (ou, equivalentemente, de sua soma) aproxima-se cada vez mais da distribuição normal, que nada mais é que a curva gaussiana de que falamos antes. Isto vale independentemente das distribuições de probabilidade das variáveis isoladas (como a distribuição uniforme das probabilidades de um único dado).

Podemos, portanto, chegar a uma conclusão aqui: quanto mais dados rolarmos num teste, somando os resultados, mais provavelmente obteremos com maior frequência, valores medianos para esta soma, obedecendo à curva normal. Isso também vale para o lançamento de dois dados, porém sua curva de probabilidade, embora também privilegie resultados medianos, não se assemelha com a curva de sino, lembrando mais um triângulo.

Curvas de probabilidade para 1d20, 3d6 e 2d10, novamente cortesia de anydice.com

texto fantasma 3

Espero que agora esteja mais claro o porquê de um lançamento com vários dados privilegiar valores próximos ao valor médio, para a soma dos valores de suas faces, quando comparado com o lançamento de um único dado. Podem voltar às suas demais flame wars. ;D

PS: parando um pouco pra pensar, quem jogou as primeiras versões do Banco Imobiliário pode verificar que o conjunto Interlagos-Morumbi é um investimento potencialmente rentável; dada a frequência com que os jogadores vão para a prisão, ao saírem dela as chances deles caírem em uma das duas casas – e, a depender da quantidade de casas e/ou hotéis, tomar uma boa facada monetária – são significativas. Em 2d6, 7 é o resultado de maior probabilidade, e corresponde a Interlagos, saindo da casa da prisão no tabuleiro; de forma análoga, para cair em Morumbi basta tirar um 9, que tem boas chances de despontar.